L'assurdo sotto i nostri occhi. Divagazioni sul teorema di Pitagora
Sin dall’antichità greca c’era la certezza che dalla comparazione del lato di un quadrato con la diagonale dello stesso non si ricavasse alcun rapporto numerico del tipo m su n dove con m ed n indico due numeri non riducibili ulteriormente o come si dice primi tra loro, ad esempio 3 e 5 e non 4 e 8.
Questo dice molto di più di quello che potremmo pensare, infatti quasi tutti sappiamo che se il lato di un quadrato è 1 la sua diagonale è, per Pitagora,√2 ma pochi sanno quali sono le implicazioni che questo comporta.
Il risultato precedente ci dice che non possiamo misurare la diagonale di un quadrato di lato 1. Infatti √2 è un numero (?) che ha infinite cifre dopo la virgola quindi se scelgo una certa unità di misura per quanto piccola essa sia non riuscirò mai a trovare quante volte quella unità è contenuta nella diagonale.
Questo si può generalizzare ad un qualsiasi quadrato di lato l la sua diagonale infatti sempre per Pitagora è l√2 . Avevate mai pensato di non poter misurare, senza approssimazioni, la distanza tra due angoli opposti della vostra stanza?
La dimostrazione della incommensurabilità tra lato e diagonale di uno stesso quadrato (che porta a stabilire, in termini moderni, la irrazionalità di √2) è ritenuta dagli studiosi come la più antica tra le incommensurabilità conosciute nel mondo greco, anche quella tra il perimetro e il diametro di una circonferenza (∏) risale a quel periodo mentre si devono aspettare tempi più recenti per numeri assurdi (così li chiamavano nel mondo greco e mi sembra un termine molto azzeccato) come il numero di Nepero e.
Comunque di numeri irrazionali ce ne sono tanti, infiniti proprio come lo sono i numeri razionali cioè quelli che si possono esprimere come rapporti. Ma come posso convincervi che questi numeri esistono davvero? Provo alla maniera dei greci evitando il più possibile pre-conoscenze matematiche, naturalmente la dimostrazione in termini moderni è molto più elegante e sintetica.
Partiamo dal voler dimostrare la incommensurabilità tra lato e diagonale di un quadrato ovvero che ha infinite cifre decimali ovvero che non si può esprimere come rapporto m/n (vedi sopra).
Dato un quadrato ABCD supponiamo per assurdo che la misura del lato AB sia commensurabile con la misura della diagonale AC.
E’ chiaro che, per Pitagora, l’area del quadrato su AC è il doppio dell’area del quadrato su AB (ACˆ2 = 2ABˆ2) e poiché (abbiamo ammesso per assurdo che) AC è commensurabile con AB, AC sarà con AB nel rapporto m su n interi positivi. Siano m , n i numeri più piccoli che stanno nel loro stesso rapporto.
Allora m non può essere l’unità, perché ammesso che sia l’unità, dato che ha con n lo stesso rapporto di AC con AB, dove AC è maggiore di AB, ne segue che m sarà maggiore di n il che è assurdo (1 è l’intero positivo più piccolo) dunque m è almeno 2.
Ora, poiché ho supposto AC/AB = m/n ne segue che ACˆ2/ABˆ2 = mˆ2/nˆ2. Ma ACˆ2 = 2ABˆ2 , dunque anche mˆ2 = 2nˆ2. Pertanto mˆ2 è un numero pari, e quindi anche m deve essere pari; perché se fosse dispari, anche il suo quadrato sarebbe dispari (facile da capire per la ragione che se si sommano numeri dispari un numero di volte dispari il totale è dispari).
Ora mi ricordo che m, n sono i più piccoli numeri che stanno nello stesso rapporto, come abbiamo detto sono primi tra loro. Questo dice che se m è pari n deve essere dispari. Perché se n fosse pari, il numero 2 dividerebbe sia n che m il che contraddice il fatto che sono primi tra loro.
Ora poiché m = 2*(1/2 m) ne segue che mˆ2 = 4*(1/2 m)ˆ2. Ma mˆ2 = 2nˆ2 dunque nˆ2 = 2*(1/2 m)ˆ2 e cioè nˆ2 deve essere un numero pari, e di conseguenza, per la ragione detta sopra anche n deve essere pari. Ma si è dimostrato prima che n è anche dispari il che è assurdo.
