Paradossi e affini. (Per chi ha voglia di riflettere) Il (finto) paradosso del barbiere.
Per chi non lo conoscesse già, in breve: si suppone di essere in un’isola dove nessuno può entrare né uscire (chiusa), qui un barbiere rade tutti quelli che non si radono. Cosa fa il barbiere?
Non può radersi poiché rade solo quelli che non si radono.
Non può non radersi perché lui stesso rade quelli che non si radono.
Non può fare una terza cosa.
Questo problema sembra senza soluzione (paradossale), invece si può risolvere, se ragioniamo nel concreto dicendo semplicemente che questo barbiere non esiste. In questo modo non creiamo affatto una situazione paradossale.
Il (vero) paradosso di Russel.
Per la comprensione di questo problema servono prima un po’ di nozioni matematiche, se ritenete di saperle già saltatele pure. Comincio col dire che un insieme è una collezione di oggetti, e un insieme può contenere: lettere, numeri, mele, animali eccetera. Fin qui niente di strano almeno se ci fermiamo a questo. Supponiamo però che un insieme contenga a sua volta un insieme, o più insiemi. Faccio un esempio sia Giorgio un insieme che ha per elementi (cioè contiene) i numeri 2, 5, 7 ed un insieme che ha per elementi (contiene) 8,3; in simboli matematici (ma questo poco interessa) si scrive: Giorgio = {2,5,7, {3,8}}. Anche questo non ha nulla di strano anzi sembra una normale conseguenza della definizione data per un insieme. Da questo possiamo però osservare, in effetti lo ha fatto Russel, che esistono insiemi che contengono loro stessi e insiemi che non contengono loro stessi.
Esempio: un insieme che contiene tutti insiemi con più di un oggetto contiene se stesso perchè esso stesso è formato da più oggetti! Un insieme che contiene tutti insiemi con un solo oggetto non contiene se stesso perchè formato certamente da più oggetti (addirittura gli infiniti insiemi che sono formati da un solo elemento).
Quindi siamo convinti che esistono questi due tipi di insiemi ed ha senso la scrittura, per un insieme Giuseppe, "Giuseppe appartiene a se stesso", oppure "Giuseppe non appartiene a se stesso".
Direi che ora siamo (finalmente) al punto cruciale della questione, consideriamo un insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono loro stessi (scusate il gioco di parole) e chiamiamolo Sergio (o come ci pare) quindi per scriverla nel simbolismo matematico:
Sergio = {tutti gli insiemi che non appartengono loro stessi}
Ma è proprio questo insieme che nasconde il problema più insidioso dell'algebra moderna, infatti è lecito comunque chiedersi se proprio questo insieme Sergio appartenga a se stesso o no.
Cominciamo col supporre che Sergio appartenga a se stesso. Se questo è vero, per come è definito, Sergio “non” appartiene a se stesso infatti in Sergio ci sono gli insiemi che non appartengono a loro stessi.
Non importa possiamo sempre supporre che Sergio non appartenga a se stesso ma sempre per come è definito Sergio dobbiamo anche concludere che Sergio appartiene a se stesso altrimenti sarebbe in Sergio (nota l'importanza del termine "tutti").
Purtroppo non esistono altri casi possibili quindi Sergio deve appartenere a se stesso e contemporaneamente non appartenerci..!
Notiamo anche che in questo caso non possiamo dire, come prima, semplicemente che Sergio non esiste, in quanto le premesse fatte fanno senza dubbio prevedere che Sergio (e suoi simili) esistono.
Come risolvere questo problema? Anche in questo caso la soluzione esiste…
